Calculateur de primitives et intégrales en ligne



Bienvenue sur le Calculateur de primitives et intégrales en ligne, votre outil interactif pour explorer et comprendre le monde fascinant de l’analyse mathématique.

Saisissez une fonction et obtenez instantanément sa primitive ou son intégral définie ainsi que le graphique correspondant. Utilisez notre bibliothèque de fonctions usuelles pour enrichir vos connaissances et pratiquez avec des exemples concrets pour maîtriser le calcul intégral.

Lors du calcul d’une intégrale le graphique s’adaptera pour mettre en évidence l’aire associée !

Clavier interactif
  • \(\sqrt{x}\)
    \(\exp(x)\)
  • \(x^{\square} \)
    \(x_{\square} \)
  • \(\pi\)
    \(e^{\square} \)
  • \(\times\)
    \(\frac{\square}{\square}\)
  • \(\log(x)\) = \(\ln(x)\)
    \(\log_{10}(x)\)
  • \( ( \)
    \( ) \)
  • \( \sqrt[\square]{\square} \)
    \( 1/x^2 \)
  • \(\cos(x)\)
    \(\sin(x)\)
  • \(\tan(x)\)
    \(\sec(x)\)
  • \(\csc(x)\)
    \(\cot(x)\)
  • \(\arccos(x)\)
    \(\arcsin(x)\)
  • \(\arctan(x)\)
    \(\frac{1}{x}\)
  • \(\cosh(x)\)
    \(\sinh(x)\)
  • \(\tanh(x)\)
    \(\coth(x)\)

Rentrez des limites pour calculer l’intégrale définie.


Le résultat s’affichera ici…

    Tableau des primitives usuelles

  • f(x)
    Domaine de définition
    F(x)
  • \( c \)
    \(
    \mathbb{R} \)
    \( cx + C
    \)
  • \( x \)
    \(
    \mathbb{R} \)
    \(
    \frac{x^2}{2} + C \)
  • \( x^n \)
    \(
    n
    \in \mathbb{N}^* \)

    \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)
  • \( \frac{1}{x} \)
    \(-∞,
    0[ \cup ]0, +∞\)
    \(
    \ln|x|
    + C \)
  • \( \frac{1}{x^2} \)
    \(
    ]0,
    +∞[ \)
    \(
    -\frac{1}{x} + C \)
  • \( \frac{1}{x^n} \)
    \(
    n
    \in \mathbb{N}, n \geq 2 \)
    \( \frac{-1}{(n-1)x^{n-1}} + C \)
  • \( \ln(x) \)
    \(
    \mathbb{R}_+^* \)
    \(
    x\ln(x) – x + C \)
  • \( e^x \)
    \(
    \mathbb{R} \)
    \( e^x +
    C \)
  • \( \sin(x) \)
    \(
    \mathbb{R} \)
    \(
    -\cos(x) + C \)
  • \( \cos(x) \)
    \(
    \mathbb{R} \)
    \(
    \sin(x) + C \)
  • \(\frac{1}{1+\tan^2(x)}\)
    \(-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\)
    \(
    \tan(x) + C \)

Primitives de Compositions de Fonctions Usuelles

Les primitives de fonctions composées requièrent souvent l’application de techniques d’intégration spécifiques. Voici des formules générales pour des cas communs :

Primitives de la forme \( u(x) \cdot u'(x) \)

Pour une fonction \( u(x) \) et sa dérivée \( u'(x) \), la primitive est donnée par la formule \( \fbox{ \( \int u(x) \cdot u'(x) \, dx = \frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + C \) } \), à condition que \( u(x) \) soit une fonction puissance de \( x \). Cette formule est le résultat direct du théorème fondamental du calcul et de la dérivée de la fonction puissance.

Primitives de la forme \( \frac{u'(x)}{u(x)^n} \)

Quand la dérivée d’une fonction \( u(x) \) est divisée par une puissance de \( u(x) \), la primitive peut être trouvée en utilisant \( \fbox{ \( \int \frac{u'(x)}{u(x)^n} \, dx = -\frac{u(x)^{-n+1}}{-n+1} + C \) }\) pour \( n \neq 1 \), et \( \fbox{ \( \int \frac{u'(x)}{u(x)} \, dx = \ln|u(x)| + C \) }\) pour \( n = 1 \).

Primitives de la forme \( \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \)

Pour intégrer une fonction où la dérivée \( u'(x) \) est divisée par la racine carrée de \( u(x) \), on utilise la formule \( \fbox{ \( \int \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}} \, dx = 2\sqrt{u(x)} + C \)} \). Cela découle de la règle de substitution avec une fonction puissance où \( n = \frac{1}{2} \).

Ces formules forment un outil puissant pour l’intégration de fonctions composées. L’entraînement à reconnaître ces formes et à appliquer ces principes permet d’aborder une grande variété de problèmes d’intégration avec confiance et précision.

Méthodes de Calcul de Primitives

Le calcul de primitives, ou intégration indéfinie, est un pilier fondamental des mathématiques. Différentes compositions de fonctions nécessitent des approches spécifiques pour leur intégration. Voici quelques méthodes et exemples pour vous guider.

Intégration par parties

L’intégration par parties est une technique qui repose sur la formule de dérivation du produit de deux fonctions. Elle est particulièrement utile lorsque vous êtes confronté à un produit de fonctions dont l’une se simplifie lorsqu’elle est dérivée. La formule est la suivante :

\( \fbox{ \( \int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) – \int u'(x) v(x) \, dx \) }\)

Par exemple, pour intégrer \( x e^x \), choisissez \( u(x) = x \) et \( v'(x) = e^x \). Après avoir dérivé \( u \) et intégré \( v’ \), appliquez la formule pour obtenir la primitive.

Décomposition en éléments simples

Pour les fonctions rationnelles, la décomposition en éléments simples est une méthode qui consiste à décomposer la fraction en somme de termes plus simples. Par exemple, la fonction \( \frac{1}{x^2 – 1} \) peut être décomposée en \( \frac{1}{2(x-1)} – \frac{1}{2(x+1)} \), dont les primitives sont des logarithmes naturels.

Substitution

La substitution, ou changement de variable, est une méthode courante pour intégrer des fonctions composées. Elle est particulièrement efficace lorsque la dérivée d’une fonction intérieure apparaît à l’extérieur. Pour intégrer \( \sin(x^2) \), par exemple, on peut poser \( u = x^2 \), donc \( du = 2x dx \). L’intégrale devient alors \( \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du \), ce qui est directement intégrable.

Ces techniques ne sont que quelques-unes des nombreuses stratégies utilisées en intégration. Pour devenir compétent en calcul de primitives, il est essentiel de pratiquer et de développer une intuition pour choisir la méthode la plus adaptée à la fonction à intégrer. Explorez notre collection d’exemples et d’exercices pour renforcer votre compréhension du calcul intégral.